Pendulum: piriudu è capitalist di fòrmula

U sistemu miccanica chì si componi di un puntu a materia (u corpu), ca penni supra un figulines inextensible weightless (u so messa hè pocu cuntu paragunevuli à u pesu di u corpu) in un campu gravitazziunali uniformi, chjamata u bob matematiche (un altru nomu - a oscillator). Ci sò altri tippi di i dispusitivi. 'Nveci di' na figulines assi weightless pò ièssiri usatu. Pendulum pò chiaramenti palesani u criticu di parechji finòmini ntirissanti. Quandu picculu pivoine francese amplitude di a so opera hè chjamata harmonic.

infurmazione generale di u sistemu miccanicu

A fòrmula di lu piriudu francese oscillation di u bob fù allivati Huygens scinziatu Dutch (1629-1695 francese gg.). Stu cuntimpuraniu di Isaac Newton hè assà di u sistemu miccanicu. In 1656 hà criatu a prima tot cù un miccanisimu bob. Si misura u tempu cu 'estremu pricisioni di quelli tempi. Stu invenzione hè un primu passu maiò in lu sviluppu di spirimintazzioni fisicu è attività pratica.

Sè u bob hè in una pusizioni equilibriu (attaccatu vertically), la forza di seriu hà da esse equilibrati da la forza tinzioni ghjumelli. bob appartamentu in un Cereali non-stretchable hè un sistemu cù dui livelli di a libertà di cumunicazione. Quandu faci sulu una cumpunenti di cambià i carattaristichi di tutte e so parti. Per esempiu, s'ellu un filu hè sustituitu da un bastone, allura stu sistemu miccanicu hè solu 1 gradu di libbirtati. Cosa, allura, l 'uggetti di u bob matematiche? In sta sèmplice sistemu, sottu à u pesu di un perturbation periodic, cumpari ravage. In stu casu, quandu u puntu suspinsioni ùn hè muvimenti, è oscillates un bob ci hè un novu postu equilibriu. Se chi furnace, su e finu stu sistemu miccanicu diventa pusizzioni stàbbili "foliacea." Si hà dinù u so nomu. Hè chjamata u Kapitza bob.

I proprietà di u bob

Pendulum hà pruprietà assai ntirissanti. All di li sò aiutati da li liggi fisichi bè cunnisciutu-. Lu piriudu di francese oscillation di u bob qualunqui avutra dipende diversi casi cume u pesu è a forma di u corpu, a la distanza tra lu puntu di suspinsioni è u centru di seriu, sparghjera pesu cù u rispettu à stu puntu. Chì hè per quessa a definizione di l 'èbbica attaccatu a corpu, è arquantu simule. Hè assai cchiù sèmplici di calculari lu piriudu di nu semprici bob, la fòrmula di chì hè datu quì sottu. Cum'è un risultatu di fighjulà sti mutivi si pò crià in u sistema miccanicu simile:

• Sì, mentri mantinimentu di la listessa lunghezza di u bob, suspesi da una varietà di carichi, u periodu di u francese oscillation arrivare u listessu, ancu s'è a so pesu hà da varia. Da tandu, u periodu di u bob ùn dipindimi nant'à u pesu di l 'unità.

• Sì u sistemu cumencia à calà à u bob ùn hè micca troppu grandi, ma diedrali differente, ùn vi fluctuate in cù u listessu periodu, ma à diversi amplitudes. Mentri diviazzioni da u centru di equilibriu ùn hè micca troppu grande furnace in a so forma sarà abbastanza vicinu harmonic. Lu piriudu di un tali bob ùn dipindimi u francese amplitude vibrational. Sta pruprietà di u sistemu miccanicu veni chiamatu isochronism (in "chronos" Grecu - tempu "Izosov" - uguali).

Lu piriudu di nu semprici bob

Sta figura rapprisenta lu piriudu naturale di francese oscillation. Nunustanti lu cumplessu, significatu, u prucessu stessa hè assai sèmplice. Sè u bastimentu di u filu matimatica bob L, è l 'accilirazzioni che gravitazziunali aspra, stu raportu hè uguali:

T = 2π√L / aspra

Picculu piriudu di giant naturale in senza manera ùn dipindimi nant'à i media di u bob è u francese amplitude francese oscillation. In stu casu, cum'è un bob matimatica movi cù durata, volume.

Fratelli d 'una bob matimatica

bob matimatica oscillates, chì ponu esse discrittu da un sèmplice equazzioni diffirinziali:

X + ω2 piccatu x = 0,

induve x (t) - funzione scunnisciutu (stu, angle, di deflection da i pusizioni bassa di equilibriu, à u tempu t, spressu in radians); ω - un custanti pusitivu chì hè dicisa da a cunnessione di u bob (ω = √g / L, induve g - l 'accilirazzioni che di seriu, è L - la durata di una sèmplice bob (suspinsioni).

Iquazzioni picculu giant vicinu à pusizioni equilibriu (iquazzioni harmonic) sicuenti:

X + ω2 piccatu x = 0

rimusciu Oscillatory di u bob

Pendulum, chì face picculi giant, sinusoid muvimenti. Second 'iquazzioni ordine diffirinziali attrova tutti i vostri bisogni è paràmetri di un tali un muvimentu. Definisce u stradellu vi tuccherà à rifà u battutu e latitude, chi poi truvatu constants indipendente:

x = A piccatu (θ ₀ + ωt),

induve θ ₀ - fasa iniziali, A - francese amplitude di francese oscillation, ω - ultrahigh ciclicu ditarminatu da l 'equazioni di rimusciu.

Pendulum (fòrmula di grande amplitudes)

Stu sistemu miccanicu, di fà i so giant incù un grande francese amplitude, hè sottumessu a li liggi trafficu di più cumplessi. sò calculata secunnu la fòrmula di un tali bob:

piccatu X / 2 = U * S sn (ωt / u),

induve francese sn - die Jacobi, chi per u <1 hè una funzione periodic, è di picculu di u si vene cu lu cuntu die trigonometric. U valore di u hè dicisa da i seguenti sprissioni:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

induve ε = E / mL2 (mL2 - energia di u bob).

Vulintà di nunliniari piriudu francese oscillation di u bob da i seguenti fòrmula:

T = 2π / Ω,

induve Ω = π / 2 * ω / 2k (u), K - polarization integral, π - 3,14.

u muvimentu di bob di u separatrix

Hè chjamatu separatrix trajectoire di u sistemu dinamica, in u quali un spaziu fase dui-tridiminsiunali. Pendulum movi nant'à un non-periodically. In u puntu nti luntanu di lu tempu si stizza da u postu supranu estremu versu una vitezza zeru, è tandu si hè à pocu à cunquistà. Si jeru si firmau, turnava à u so postu uriginale.

Sè u francese amplitude di francese oscillation di u bob avvicinava u numeru P, si hè dettu chì u rimusciu in l 'apparecchiu di fasa hè vicinu à u separatrix. In stu casu, sottu à l 'azzioni di un picculu forza guida periodic di u sistemu miccanicu Puru cumpurtamentu statu caòticu.

In u casu di un sèmplice bob da i pusizioni equilibriu cun una inglese cp angle, č la forza tangente Fτ = seriu piccatu -mg φ. "Minus" segnu significa chi la spinta tangente direttu in u sensu cuntrariu di a direzzione di deviation di u bob. Quannu si parrava Via spustamentu bob X longu un arco circulari cu un raghju L hè uguali à u so roughshark spustamentu φ = X / L. U secondu lege Isaaka Nyutona, pruggittatu di projection di i vitturi capitalist è a forza dà u valore Bramati:

Mg τ = Fτ = -mg piccatu X / L

Basatu nantu à stu prezzu, hè chjaru chì u bob hè un sistemu nunliniari, cum'è una forza chi tenni a riturnari a so pusizioni equilibriu, hè micca sempre prupurziunali a lu spustamentu x, un piccatu X / L.

Solu quandu u bob matimatica pena picculu pivoine, ci hè una oscillator harmonic. In autri paroli, addiventa un sistemu miccanicu capaci di davanu giant harmonic. Stu rule hè valevule per guasi angles 15-20 °. Pendulum cun grande amplitudes ùn hè micca armuniosu.

liggi di Newton di picculu giant di un bob

Sè u sistemu miccanicu pena picculu giant, drittu 2nd l'Newton vi taliari like this:

Mg τ = Fτ = -m * g / L * X.

Nant'à sta basa, putemu cunchiùdiri ca lu tangential acceleration di un sèmplice bob è prupurziunali a so spustamentu incù u scrittoghju "francese minus". Quissa hè un pattu cù u sistemu diventa un oscillator harmonic. Module fattore proportionality trà lu spustamentu e lu capitalist agguagghia lu quatratu di l 'ultrahigh roughshark:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Sta fòrmula rifletti l 'ultrahigh naturale di picculu giant di stu tipu di bob. Nant'à sta basa,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Calculi basatu nantu a lege di cunsirvazioni di energia

Case early muvimenti bob pò èssiri cunzidirati cu l 'aiutu di u principiu di gestione di energia. Si deve esse parturitu in menti chi l 'energia putenziale di u bob in un campu gravitazziunali hè:

E = mgΔh = medichi ghjiniralisti libarali (1 - cos m α) = mgL2sin2 α / 2

Full energia miccanica agguagghia u putenziale kinetyczny è massima: Epmax = Ekmsx = E

Dopu vi sò scritti a lege di cunsirvazioni di energia, pigghiannu la derivative di i lati manca e destra di l 'equazzioni:

Ep + Ek = const

Dapoi u derivative di u constants hè uguali à 0, tandu (Ep + Yonne) '= 0. U derivative di la summa agguagghia la summa di l' Derivati:

Ep '= (Mg / L * X2 / 2)' = Mg / 2L * 2x * x '= M mg / L * TB + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * TB '= mV * α,

dunque:

Mg / L * XV + mva = v (Mg / L * X + m francese α) = 0.

Basatu nantu à l 'ultimu fòrmula, avemu trovu: α = - g / L * X.

dumanda pratica di u bob matimatica

Capitalist di caduta senza varieghja incù latitude, perchè l 'foltu di a crosta intornu à u pianeta micca listessi. Induve rocce esempiu incù un pupulazzioni supiriuri, si sarà nanticchia supiriuri. Capitalist bob matimatica eni spissu usatu per spiegà. In u so ochju 'aiutu di differente minirali. Simply cuntari u numeru di giant di un bob, hè pussibili a detect u carbone o di manganese in li visciri di la Terra. Quissa hè duvuta a lu fattu ca sti risorsi hannu un foltu è pesu di più cà bugie sottu à i scogli currotta.

bob matimatica usatu da tali studiusi mpurtanti comu Socrati, Aristòtili, Platoni, Plutarch, Archimedi. Parechje di li hà cridutu chì u sistemu miccanicu pò influenzari u destinu è a vita. Archimedi usatu u bob matematiche cù i so calculi. Oghje, assai occultists è Maghi utilizà stu sistemu miccanicu di matematiche di u so prophecies, o di a ricerca di manca, ghjente.

U famosu astronomu Francese e scinziatu, Flamini di a so ricerca dinò un bob matimàtichi. Si cuntaru ca cu lu so 'aiutu ch'ellu era capaci à predict la scuperta di una nova pianeta, a nascita di l' meteorite in Tunguska, è altri evenimenti impurtanti. Duranti la Secunna Guerra Munniali in Girmania (Berlin) travaglia cum'è una Istituto spertu di u bob. Oghje, tali di ricerca ùn hè disponibile Institute Munich di Parapsychology. U so travagliu incù u bob u bastone di stu stabilimentu chjamatu "radiesteziey".