L'equazzioni di l 'apparecchiu di: cumu a fari? Types iquazziona n'aeriu

U spaziu billet pò esse definitu in modu differente (unu Islande è vettore, lu vitturi è i dui punti, tri punti, etc.). Hè cù stu in menti, l 'equazzioni billet pò hannu tipi diffirenti. Dinù sottu à certi cundizioni billet pò esse tempu, parpindiculari, GUAICURIAN, etc. Nant'à sta e parru a stu articulu. Ci hà da amparà à fà l 'equazzioni ginirali di l' apparecchiu di e non solu.

A forma nurmale di l'equazzioni

Cridiri R hè u spaziu _3, chì hà cuurdinati una furma sistemu XYZ. Avemu definisce un vettore α, chì hà da esse publicatu da u puntu O. Attraversu la fini di l 'α vettore girari billet P chì hè parpindiculari à lu.

Parrari P à un arbitrarie puntu Q = (x, canta, z). U raghju vitturi di u puntu Q segnu lettera p. A lunghezza di i vitturi agguagghia α P p = IαI è Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Stu vettore unità, chì hè direttu in u sensu cum'è vettore α. α, β, è γ - sò diedrali chì sò furmati trà i vitturi è i indicazione pusitivu Ʋ pioli spaziu x, canta, z rispittivamenti. U projection di un puntu di u vettore QεP Ʋ hè un focu chì hè uguali à P p (p, Ʋ) = P p (r≥0).

L'equazzioni sopra hè chi quandu P p = 0. U solu billet Traduction in stu casu, avissi a passari puntu O (α = 0), chì hè l 'urighjini è unità vettore Ʋ, isciutu da u puntu O sarà parpindiculari à P, ancu s'è a so direzzione, chi signìfica ca lu vitturi Ʋ ditarminatu finu à u segnu. iquazzioni Precedente hè u nostru billet P, spressu in forma vettore. Ma in vista di u so latitude hè:

P hè più cà, o uguali à 0. Avemu trovu l 'equazzioni billet in forma nurmali.

L'equazzioni ginirali

Sè l 'equazzioni in latitude multiplicate da ogni numeru chì ùn hè uguali à zeru, avemu venenu l' equazzioni equivalenti a stu chì definisce u billet assai. Si vi hannu la seguenti forma:

Quì, A, B, C - hè u numeru di simultaneously differente da zeru. Sta 'iquazzioni eni chiamatu l' equazzioni di u furmulariu generale di l 'apparecchiu.

U equazioni di i piani. casi Special

L'equazzioni pò giniralmenti esse scambiatu incù cundizioni di rivinuti. Guardà qualchi d 'iddi.

Pigghiarivi li chì l 'studium A hè 0. Chissu ìnnica ca l' apparecchiu di tempu à i del culonna predetermined. In stu casu, a forma di l 'equazzioni cancia: Wu + Cz + D = 0.

Grafia simile, a forma di equazzioni è vi cancianu cu la seguenti e cundizioni:

• Didàttica, se B = 0, u cambiamenti equazzioni di Ax + Cz + D = 0, chi avissi a nnicari l 'parallilismu a culonna Oy.
• Dopu, s'ellu C = 0, l 'equazzioni hè trasfurmatu in Ax + By + D = 0, chi hè a diri circa paralleli à u culonna predetermined Oz.
• Terzu, se D = 0, l 'equazzioni Cumpariscerà cum'è Ax + By + Cz = 0, chi avissi a diri chi l' apparecchiu di intersects O (l 'origine).
• Quartu, si A = B = 0, u cambiamenti equazzioni di Cz + D = 0, chi vi pruvà à parallilismu oxy.
• Quintu, se B = C = 0, l 'equazzioni diventa Ax + D = 0, chi significa ca lu iocu hè tempu à Oyz.
• Sixthly, si A = C = 0, l 'equazzioni pigghia la forma Wu + D = 0, i.e., vi lagnanza contru à i Oxz parallilismu.

Forma di l 'equazzioni in spichji

In u casu induve numari A, B, C, D differente da zeru, l 'usu di l' iquazzioni (0) pò esse cum'è a siguenti manera:

X / una + canta / b +, z / c = 1,

allora un = -d / A, B = -d / B, c = -d / C.

Avemu riceve cum'è un 'iquazzioni risultatu di l' apparecchiu di a pezza. It S'avissi a nutari ca stu iocu vi intersecani l 'ex-culonna à u puntu cun latitude (una, 0,0), Oy - (0, b, 0), è Oz - (0,0, s).

Datu l 'equazzioni X / una + canta / b +, z / c = 1, ùn hè difficiule à facciacce l' apparecchiu di u piazzamentu parente à un sistemu predetermined cuurdinati.

Latitude di i vitturi nurmali

U vettore nurmali Traduction à l 'apparecchiu di P hà latitude chì sò i cuefficenti di l' equazzioni ginirali di l 'apparecchiu, i.e. n (A, B, C).

In ordine per definisce u latitude di u nurmali n, hè bastatu per cunnosce l 'equazzioni ginirali datu nta n'aeriu.

Quandu cù l 'equazzioni in spichji, chì hà a forma X / una + canta / b +, z / c = 1, cum'è quandu cù l' equazzioni ginirali ponu esse scritte latitude di ogni vettore nurmale un datu billet: (1 / una + 1 / b + 1 / c).

It S'avissi a nutari ca lu nurmali, vettore di cuntribuiscia à scioglie à vari prublemi. I prublemi più cumuna hè custituita in piani parpindiculari o tempu a prova, u compitu di truvarisi u diedrali trà i piani, o l 'diedrali trà i piani è linìi ritti.

Type secondu à l 'equazzioni billet e latitude di u puntu nurmali vettore

A vettore nonzero n, parpindiculari à una data avión, chiamatu nurmale (nurmale) à un billet predetermined.

Pensu chì in u spaziu cuurdinati (cuurdinati una furma) Oxyz crià:

• puntu incù latitude Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ);
• zeru vettore Traduction = A * I + B * j '+ C * K.

Vi tuccherà à fà 'equazzioni di l' apparecchiu chi passa pi menzu puntu Mₒ parpindiculari à a nurmale n.

In u spaziu noi di sceglie un puntu arbitrariu è parrari di M (x, canta, z). Chì u raghju vettore di ogni puntu M (x, canta, z) hà da esse R = X * I + Y * j '+, z * k, e lu raiu, vettore di un puntu Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * I + uₒ * j '+ zₒ * K. U puntu M vi si scrivenu à una data avión, siddu lu vitturi MₒM esse parpindiculari à i vitturi n. Avemu scriviri la cundizione di orthogonality cù u prodottu tinzuriali:

[MₒM, n] = 0.

Dapoi MₒM = mort-rₒ, l 'equazzioni vettore di l' apparecchiu di vi taliari like this:

[R - rₒ, n] = 0.

Stu iquazzioni ponu dinù hannu un altru, forma. Per stu scopu, la pruprità di u prodottu tinzuriali, è cunverta l 'autru latu di l' equazzioni. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Sè [rₒ, n] denoted comu s, ci venenu i seguenti equazzioni: [r, n] - a = 0, o [r, n] = s, ca si lu Esaudìscimi di a radio di a nurmale vitturi di u raghju-vettori di i punti datu chì si scrivenu n'aeriu.

Avà vi pò arrivare i n'hè tipu apparecchiu di i nostri 'iquazzioni vettore cuurdinati [ar - rₒ, n] = 0. Dapoi mort-rₒ = (x-hₒ) * I + (Y-uₒ) * j' + (g-zₒ) * k, è Traduction = A * i + B * j '+ C * k, avemu:

Si gira fora chi avemu l 'iquazzioni eni furmata billet passava à traversu u puntu parpindiculari à a nurmale Traduction:

A * (x hₒ) + B * (Y uₒ) S * (g-zₒ) = 0.

Type secondu à l 'equazzioni billet e latitude di dui punti di u collinear billet vettore

Avemu definisce dui punti arbitrarie M '(x', si ', z') è M "(x", e ", z"), oltri lu vitturi (una ', na ", nu ‴).

Avà pudemu scrive billet iquazzioni predetermined chì passa à u puntu M esistenti 'e M ", è ogni puntu cu la latitude M (x, canta, z) tempu à una data vettore.

Cusì vettori M'M x = {x ', canta-canta'; ZZ '} è M "M = {x" -x', si 'si';, z "-z '} deve esse coplanar cù i vitturi un = ( 'na' na ", nu ‴), ca significa chi (M'M M" M, a) = 0.

So i nostri equazzioni di un billet in u spaziu da circà like this:

Tipu di equazzioni avión, staia trè punti

A Canzona di dì avemu trè punti: (x ', si', z '), (x', si ', z'), (x ‴ facemu ‴, z ‴), chì ùn si scrivenu à u listessu linia. Hè necessaria a scrìviri equazzioni di l 'apparecchiu di passava à traversu i trè punti renseigné. tiuria geomitria sustinìa ca stu tipu di apparecchiu ùn esisti micca, hè ghjustu unu, è solu. Dapoi sta billet intersects lu puntu (x ', si', z '), u so usu iquazzioni saria:

Quì, A, B è C sò differente da zeru à u listessu tempu. Also datu billet intersects più dui punti (x ", e", z ") è (x ‴, canta ‴, z ‴). In sta volta deve esse purtatu fora stu tipu di e cundizioni:

Avà pudemu crià un sistemu uniforme di iquazziona (linéaire) cun unknowns ua, TB, w:

In u nostru casu, x, canta, o, z leva puntu arbitrariu chi satisfies iquazzioni (1). Cunsidirari 'iquazzioni (1) è un sistemu di Perugia (2) è (3) u sistemu di iquazziona indettatu quì in u fiura sopra, u satisfies vettore N (A, B, C) chì hè nontrivial. Hè perchè u determinant di u sistema hè zeru.

Iquazzioni (1) chì avemu troppu s'arrizzò, chistu è l 'equazzioni di l' apparecchiu. 3 puntu ch'ella và veru, è hè facile à verificà. Per fà quessa, avemu allargamentu di la determinant da l 'elementi in u prima fila. Di l 'uggetti esistenti déterminant seguita chì i nostri billet intersects simultaneously i trè puntu d' urìggini predetermined (x ', si', z '), (x ", e", z "), (x ‴, canta ‴, z ‴). So avemu decisu di compitu in fronte à noi.

angulu diedru trà i piani

angulu diedru hè una forma moderna francese spatial furmati da dui mità di-piani chì émaner da una linia drittu. In autri paroli, parte di u spaziu chì hè limitatu à a meza-piani.

Cridiri avemu dui billet cù i seguenti iquazziona:

Sapemu chì u vettore N = (A, B, C), è N¹ = (° H¹, S¹) secondu a carta predetermined sò parpindiculari. In stu riguardu, u angle, φ trà vettori N è N¹ uguali, angle (anguli), chì hè situatu trà issi piani. U pruduttu tinzuriali hè datu da:

NN¹ = | N || N¹ | cos m φ,

pricisamenti picchì

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (° + s² + V²)) * (√ (°) ² + (H¹) ² + (S¹) km²)).

Basta à guardà chì 0≤φ≤π.

Primurosu di dui piani chì intersecani, forma dui, angle (anguli): φ ₁ è φ _2. U so summa hè uguali à π (φ ₁ + φ ₂ = π). Cum'è per a so cosines, i so valori assolutu sò uguali, ma ch'elli sò parechji segni, chì hè, cos m φ ₁ = -cos φ _2. Sè in l 'equazzioni (0) hè sustituitu da A, B e C di -a, -B è -C rispittivamenti, l' equazzioni, avemu venenu, vi darà lu stissu apparecchiu, u solu di angle φ in cos 'iquazzioni φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ci hà da esse sustituita da π-φ.

L'equazzioni di l 'apparecchiu di parpindiculari

Chjamatu parpindiculari avión, tra cui l 'àngulu è 90 gradi. Cù u matiriali ca prisintaru, sopra, ùn pò truvà l 'equazzioni di un billet parpindiculari à l' altru. Criditi avemu dui piani: Ax + By + Cz + D = 0, è + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Avemu pò dì ch'elli sò lingua se cos m = 0. Stu significa chi NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

L'equazzioni di un apparecchiu di tempu

Si rifirisci a dui piani tempu chì cuntenenu nè punti in cumunu.

A sola cundizione di piani tempu (u so iquazziona sò u listessu cum'è in l 'comma pricidenti) hè chì u vettori N è N¹, chì sò parpindiculari à elli, collinear. Stu significa chi la seguenti e cundizioni sò strata proportionality:

A / ๠= B / C = H¹ / S¹.

Sè lu termini prupurziunali sò sviluppata - A / ๠= B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

stu ìnnica ca lu iocu di dati di u listessu. Stu significa chi 'iquazzioni Ax + By + Cz + D = 0 è + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 numaru unu n'aeriu.

A distanza da puntu di n'aeriu

Cridiri avemu un billet P, chì hè datu da (0). Hè necessaria à truvà u luntanu da u puntu cun latitude (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , You tocca à purtà u 'iquazzioni in l' apparecchiu II apparenza nurmale à fà lu in:

(Ρ, v) = P p (r≥0).

In stu casu, ρ (x, canta, z) hè u raghju vitturi di u nostru puntu di u Q, situatu à P, P - hè a durata di u P parpindiculari, chì fù publicata da u puntu zeru, TB - hè un vettore unità, chì si trova in u sensu di una.

A diffirenza ρ-ρº raghju vettore di un puntu Q = (x, canta, z), appartèniri a n è lu raghju vettore di un datu puntu Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) hè un tali vitturi, u valore assulutu di u projection di u quali u n signu u luntanu d, chì hè necessariu à truvà da Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) à P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ma

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, TB ) - (ρ ^0, v) = P p (ρ ^0, v).

So si gira fora,

D = | (ρ ^0, v) P p |.

Avà hè chjara chì a calculari lu luntanu d 'da ₀ à Q billet P, hè necessaria à aduprà nurmali iquazzioni vista, avión, lu passata a la manca di p, e l' ùrtimu postu di x, canta, z rimpiazzà (hₒ, uₒ, zₒ).

Cusì, avemu trovu u valore assulutu di i sprissioni favurèvuli chì hè tenutu d.

Cù i paràmetri di lingua, niàutri pigghiamu l 'chiaru:

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (° + V² + s²).

Sè lu puntu Q renseigné ₀ hè u autru latu di l 'apparecchiu di P cum'è l' urighjini, tandu trà i vitturi ρ-ρ ⁰ è TB hè un angle, ottusu, cusì:

d '= - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

In u casu, quandu u puntu Q ₀ a cunghjunzione cù l 'urighjini trova nantu u listessu latu di l' U, hè creatu u angle, chi hè:

D = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

U risultatu hè chì à u casu, anzianu (ρ ^0, v)> p, a la secunna (ρ ^0, v)

È u so 'iquazzioni billet tangente

Riguardu à l 'apparecchiu di a superficia di u puntu di tangency Mº - un billet cuntenendu tutti i pussibili tangente a Curva di tiratu à traversu chì puntu u superficia.

Cù sta forma a superficia di l 'equazzioni F (x, canta, z) = 0 in l' equazzioni di u puntu billet tangente tangente Mº (hº, uº, zº) avissi a èssiri:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº canta) + F _x (hº, uº, zº) (g-zº) = 0.

Sè l 'a superficia hè stabilitu altrimente, z = f (x, y), allura l' apparecchiu di tangente hè discrittu da l 'equazzioni:

, z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (Y uº).

U Intersection di dui piani

In u spaziu di trè-tridiminsiunali hè una cuurdinati (furma) Oxyz, datu dui piani P 'è P' chi si suvrapponnu è ùn cunfidirazzioni. Dapoi un apparecchiu, chì hè in una furma cuurdinati difiniti da l 'equazzioni ginirali, avemu dinò chì n' è Traduction "sò difiniti da u iquazziona A'x + V'u S'z + + D '= 0 è A" + B x' + canta cù ", z + D" = 0. In issu casu, avemu nurmali n '(A', B ', C') di l 'apparecchiu di P' è l 'nurmali Traduction "(A", B ", C") di l' apparecchiu di P '. As a nostra carta ùn sò tempu è ùn cunfidirazzioni, tandu ste vettori ùn sò collinear. Cù la lingua di matematica, avemu sta cundizione ponu esse scritte as: n '≠ Traduction "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * È", λ * In ", λ * C"), λεR. Rallègrinu i ligna diritti chì si trova in l 'Intersection P' è P ", sarà denoted da u lettera una, in stu casu, un = P '∩ P".

è - a linia custituita di una pluralità di punti (cumuna) piani P 'è P ". Stu significa chi la latitude di ogni puntu appartiniri a ligna una, ci vole simultaneously suddisfà i iquazzioni A'x + V'u S'z + + D '= 0 è A "x + B', z + C Y" + D "= 0. Stu significa chi la latitude di u puntu sarà un particulare definitivu di i seguenti iquazziona:

U risultatu hè chì a suluzione (megliu) di stu sistema di iquazziona vi darà lu latitude di ognunu di i punti nantu à i ligna chi vi cuntu comu lu puntu di Intersection P 'è P ", è definisce una ligna à un cuurdinati Oxyz u spaziu (furma).